SÉRIE GEOMÉTRICA INFINITA

São exemplos de séries geométricas:

(I)     2, 4, 8, 16, 32,  ...

(II)     1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, ...

(III)     a, ar, ar², ar³, ...

O exemplo (I) pode representar uma população de bactérias em intervalos de tempo iguais numa cultura sem limites.

O exemplo (II) pode representar a altura que uma bola salta ao bater sucessivamente numa superfície horizontal. 

I - Série Divergente: |q|>1 e a₁ ≠ 0

A série é chamada divergente quando a soma dos seus termos não é definida ou o seu limite tende ao infinito (+∞ ou -∞).

Vejamos a PG infinita (5, 5², 5³, 5⁴, ...)

Vamos observar as somas de seus termos:

 

Quanto maior é o número de termos, maior é a soma. Para infinitos termos é intuitivo que a soma tende a infinito.

Então para a_{1>0 e q >1 , temos:}

_{Da mesma forma, em (-3, -6,-12, ...).}

 À medida que o número de termos aumenta, a soma diminui ( aumenta em valor absoluto). Para a_{1<0 e q >1:}

II - Série Convergente: |q|<1

 A soma dos infinitos termos converge para um valor infinito.

Ex.: Seja a PG infinita

em que a_{1=1/2 e q =1/2.} 

 _{Você observa que à medida que a ordem do termo aumenta, o valor do termo diminui, tendendo a zero.}

 _{Vamos analisar o Segmento AB abaixo cuja medida é igual a 1, e o que acontece com a soma dos seus infinitos termos:}

 
_{AC = 1/2
CD = 1/4
DE = 1/8
EF = 1/16
As medidas dos segmentos AC, CD, DE, EF, etc. são, nessa ordem, os termos da PG. À medida que aumenta a quantidade de segmentos, sua soma mais se aproxima do segmento AB. Portanto, dizemos que o limite da soma dos infinitos termos da PG é igual a 1.
 Ou seja:}

_{É daqui que chegaremos àquela fórmula famosinha da Soma dos termos de uma PG infinita q vemos no ensino médio.
Pois se} |q| < 1, o número qⁿ _{tende a zero, quando n tende a infinito.
Então na expressão}

_{Podemos desprezar a parcela} a_1.qⁿ

_{Escrevemos a bendita fórmula, da seguinte forma:}