domingo, 18 de julho de 2010

A Conjectura de Catalan

Dentre os vários problemas matemáticos, conjecturas, teoremas e indeterminações existem alguns que, para os amantes desse raciocínio exato, são incrivelmente belos pela sua simplicidade no enunciado, mas que resistem por vários anos desafiando os mais brilhantes pensadores dessa raínha das ciências, esperando uma solução digna que os comprovem.
É o caso da Conjectura de Catalan (ou Teorema de Mihailescu),  proposta em 1844 pelo matemático belga Eugène Charles Catalan (1814 – 1894), que por 158 anos permaneceu sem solução desafiando os melhores matemáticos, sendo demonstrado em abril de 2002 pelo matemático romeno Preda V. Mihailescu (nascido em 23 de maio de 1955) e publicado no Jornal de Crelle em 2004.

VAMOS AO PROBLEMA!
Considere a sequência a seguir:
4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, . . . .
Pergunto, antes de mais nada, o que há de tão interessante nessa sequência??? Você seria capaz de encontrar uma propriedade matemática ou conjecturar algo que desafiasse os melhores matemáticos desde 1844?
Então, Catalan percebeu que nesta sequência de números inteiros maiores que 1, com quadrados, cubos e potências perfeitas, os únicos números consecutivos são o 8 = 23     e 9 = 32. As primeiras perguntas sugeridas foram: Existem outros pares de inteiros nesta sequência? Quantos? Finitos? Infinitos?
Outras perguntas que podem surgir: Existem outras potências consecutivas além de 8 e 9?
A conjectura afirma que 23 e 3é o único par de potências consecutivas. Ou seja, que a única solução para os números naturais de
xa – yb = 1
para x, a, y, b> 1 é x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Um comentário:

  1. Muito interessante Professor.
    Parabéns!

    Abraços.

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