quarta-feira, 19 de maio de 2010

Demonstração Limite Exponencial = ao Logaritmo Natural

Veremos a demonstração do limite exponencial que resulta no Logaritmo Natural.clip_image002

Devemos, de início, saber a definição:

Chamamos de Logaritmo Natural ou hiperbólico de um número real positivo b, àquele que tem como base o número e.

Usamos a notação ln b.

Veja:

Loge5 = ln 5

Loge1/2 = ln 1/2

Vejamos, então, o limite Fundamental:

“EXPONENCIAL MENOS 1 SOBRE O EXPOENTE”

clip_image002

(com a>o). O objetivo aqui é provar que, após levantar a indeterminação desse limite(que é do tipo 0/0), obtemos ln a como resultado.

clip_image002[8]

Isolamos ax:

clip_image002[10]

Aplicamos agora o logaritmo neperiano aos dois membros:

ln(ax) = ln(t + 1) => x.ln a = ln( t + 1)

clip_image002[12]Logo,

clip_image002[7]Dividindo por t, obtemos:

clip_image002[9]

Como xclip_image001 0 , então t clip_image001[1]0clip_image002[11]

image

clip_image002[23](como queríamos demonstrar)

Generalizando a propriedade acima, podemos ter:

clip_image002[25]

e

clip_image002[27]

8 comentários:

  1. Muito útil e esclarecedor seu post ^^

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  2. Muito obrigado.
    Estava procurando por essa demonstração. :)

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  3. Por que ln(t+1)^1/t = lne???

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    1. Eu também gostaria de saber.

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    2. Faça t=1/n como t tende a zero então n tende ao infinito, logo:

      ln(1/n + 1)^1/(1/n) = ln(1+1/n)^n = lne = 1

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    3. Definição da constante de euler e = (t+1)^1/t logo aquilo fica ln e
      ln e=1

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  4. Muito Bom!!!
    Estava errando em uma passagem hoje de madrugada, com sua solução, consegui visualizar.

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  5. E... por que Lim ln(k(x)) = ln(lim k(x))?

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