Teoria dos Números – RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z

Sejam a e b dois inteiros com a≠0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a.q.

Se a divide b diz-se que a é divisor de b, que a é um fator de b, b é múltiplo de a ou que b é divisível por a.

Notação:

a|b (indica que a divide b)

A relação “a divide b” (a|b) denomina-se relação de divisibilidade em Z.

Se a é divisor de b, então –a também é um divisor de b, pois b = aq => b = (-a).(-q), ou seja, os divisores de um inteiro qualquer são dois a dois iguais em valor absoluto e de sinais contrários.

Vejamos:    4|8 ==>8 = 4x2

-6/12 ==> 12 = (-6)x(-2)

                   3 11 ==> q / 3q = 11

Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c e d, tem-se:

I) a|0, 1|a e a|a

II) Se a|1, então a = (+-)1

III) Se a|b e se c|d, então ac|bd

DEMONSTRAÇÃO

Consideremos:

 

portanto, ac|bd

C.Q.D.

VI) Se a|b e se b|c, então a|c ( TRANSITIVIDADE)

Como a|b e b|c, existem q1, q2 ЄZ com b = aq1 e c = bq2.

Assim, c = bq2 = aq1q2 = aq, com q = q1q2 Є Z.

Logo, por definição, a|c.

Outras Demonstrações que podem servir como exercícios:

1- Mostrar que se a | b,  então  (-a) | b,  a | (-b)  e  (-a) | (-b).

Solução: Se a | b então  ∃ q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq  = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z.

Portanto, existe (-q) inteiro tal que b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq   => (-b) = a(-q). E conforme foi justificado,  a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq  => (-b) = (-a).q => (-a)|(b). De acordo com (i)

2-Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que  se a | b, então a | bc.

Solução: a | b =>  b = aq,  q inteiro => bc = aqc => bc = a(qc).
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto, existe um inteiro (qc) tal que  bc = a(qc) => a | bc.

3– Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que se a | b  <==>ac | bc  (com c ≠ 0).

Solução: 
a | b <=> b = aq <=> bc = aqc  <=> bc = (ac) q  <=>
<=>  ac | bc.

C.Q.D.