OBMEP – 2009 – QUESTÃO 10

Achei muito bom esse desafio. E finalmente, depois de muito pensar encontrei a solução deste problema.

- Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos da circunferência elas se cruzam?

a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

SOLUÇÃO:

Muito bem,

De início devemos lembrar que 1 volta completa na circunferência vale 360º

Chamamos:

f₁ : Formiga 1: V₁ : Velocid. de f₁ S₁: espaço percorrido por f₁

f₂ : Formiga 2: V₂ : Velocid. de f₂ S₂: espaço percorrido por f₂

f₁ é mais rápido que f₂ , então temos: V₂ = 6/9 V₁ => V₂ = 2/3V₁

Precisamos encontrar o instante t do encontro entre elas. Para isso vou abrir a circunferência:

f₁ ---------------------------------------------------f₂
0----------------------------------------------------__-360º

Enquanto f₁ percorre 360º, f₂ percorre 2/3 de 360º = 240º

S₁ = 0 + 360t e S₂ = 360 – 240t

No momento do encontro, teremos S₁ = S₂

360t = 360-240t

360t + 240t = 360

600t = 360

t = 360/600 = 3/5 ( significa que 3/5 de tempo depois da partida (origem) elas se encontraram)

Para saber onde se deu o 1º encontro basta substituir 3/5 em:

S₁ = 360*t = 360*3/5 = 216º , ou S₂ = 360-240t = 360-240*3/5 = 216º

Então, as formiguinhas voltam a se encontrar a cada 216º sempre contando da origem.

1º Encontro: 216º a partir da origem

2º Encontro: 216º + 216º = 2*216º = 432º (ou ainda, 1 volta(360º) + 72º)

3º Encontro: 432º + 216º = 3*216º = 648º ( 1 volta(1*360º) + 288º)

4º Encontro: 648+ 216º = 4*216º = 864º ( 2 voltas(2*360º) + 144º)

5º Encontro: 864+216º = 5*216º = 1080º ( 3 voltas completas= 3*360º ), ou seja deu na origem , de onde partiram.

6º Encontro: 1080º + 216º = 6*216 = 1296º ( 3 voltas + 216º)

Então, meus caros, significa que as duas formiguinhas voltaram a se encontrar no ponto onde se deu o 1º encontro. E a partir daí os pontos de encontro começam a se repetir.

Portanto, as formiguinhas se encontram em apenas 5 pontos distintos, letra d)